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IS法_百度百科网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心TOPSIS法播报讨论上传视频C.L.Hwang和K.Yoon于1981年提出的方法收藏查看我的收藏0有用+10TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）法是C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出，TOPSIS法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。中文名TOPSIS法外文名Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution提出人C.L.Hwang和K.Yoon提出时间1981年目录1简介2原理3涵义简介播报编辑TOPSIS法是一种逼近于理想解的排序法，该方法只要求各效用函数具有单调递增（或递减）性即可。TOPSIS法是多目标决策分析中一种常用的有效方法，又称为优劣解距离法。原理播报编辑其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则不为最优。其中最优解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标的最差值。涵义播报编辑TOPSIS法其中“理想解”和“负理想解”是TOPSIS法的两个基本概念。所谓理想解是一设想的最优的解（方案），它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值；而负理想解是一设想的最劣的解（方案），它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。方案排序的规则是把各备选方案与理想解和负理想解做比较，若其中有一个方案最接近理想解，而同时又远离负理想解，则该方案是备选方案中最好的方案。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号京公网安备110000020000

TOPSIS(逼近理想解)算法原理详解与代码实现 - 知乎

TOPSIS(逼近理想解)算法原理详解与代码实现 - 知乎首发于11111切换模式写文章登录/注册TOPSIS(逼近理想解)算法原理详解与代码实现子木程序在公众号(不更新推文，不发广告)：一个安静的资料号写在前面：个人理解：针对存在多项指标，多个方案的方案评价分析方法，也就是根据已存在的一份数据，判断数据中各个方案的优劣。中心思想是首先确定各项指标的最优理想值(正理想值)和最劣理想值(负理想解)，所谓正理想值是一设想的最好值（方案），它的的各个属性值都达到各候选方案中最好的值，而负理想解是另一设想的最坏的值（方案），然后求出各个方案与正理想值和负理想值之间的加权欧氏距离，由此得出各方案与最优方案的接近程度，作为评价方案的优劣标准，最后得到各个方案的优劣值。目录一、TOPSIS算法1.1 TOPSIS算法的原理1.2 TOPSIS算法的实现二、数据预处理2.1 数据正向化处理2.1.1对于极小型指标的正向化处理2.1.2 对于中间型指标的正向化处理2.1.3对于区间型指标的正向化处理2.2数据标准化处理三、TOPSIS算法实现3.1最优解与最劣解计算3.2 TOPSIS评分计算四、TOPSIS算法总结4.1 TOPSIS算法实现步骤五、TOPSIS算法示例与扩展5.1 TOPSIS算法示例5.2 TOPSIS算法扩展六、程序源码如有专业问题或者需要仿真可以点下面付费咨询链接。一、TOPSIS算法1.1 TOPSIS算法的原理TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。为了对众多方案给出一个排序，在给出所有方案之后，可以根据这些数据，构造出一个所有方案组成的系统中的理想最优解和最劣解。而TOPSIS的想法就是，通过一定的计算，评估方案系统中任何一个方案距离理想最优解和最劣解的综合距离。如果一个方案距离理想最优解越近，距离最劣解越远，我们就有理由认为这个方案更好。那理想最优解和最劣解又是什么呢？很简单，理想最优解就是该理想最优方案的各指标值都取到系统中评价指标的最优值，最劣解就是该理想最劣方案的各指标值都取到系统中评价指标的最劣值。理想最优解中的数据都是各方案中的数据，而不要选择方案中没有的数据，理想最劣解同理。如何衡量某一个方案与理想最优解和最劣解的综合距离呢？TOPSIS基本思想是用下面这个表达式进行衡量：\frac{某一方案-最劣解}{理想最优解-最劣解} 可以发现，如果方案取到了理想最优解，其表达式取值为1；如果方案取到了理想最劣解，其表达式取值为0。我们便可以用这个表达式来衡量系统中某一个方案距离理想最优解和最劣解的综合距离，也直接用它给方案进行打分。当然这个公式只是一个基本的思路，实际上，为了更准确与合理，会对该公式进行优化。1.2 TOPSIS算法的实现在了解TOPSIS算法的基本思想后就是对相应参数的计算了，从上面的描述可以知道，除了要对该公式进行改进之外，因为涉及到数据之间的比较，还需要对方案数据进行处理，消除量纲以及范围太大带来的一系列问题。二、数据预处理2.1 数据正向化处理在处理数据时，有些指标的数据越大越好，有些则是越小越好，有些又是中间某个值或者某段区间最好。我们可以对其进行“正向化处理”，使指标都可以像考试分数那样，越大越好。将指标分为四类，如下表所示。四类指标类型正向化处理，就是将上述的四种指标数据进行处理，将其全部转化为极大型指标数据，这样我们计算时问题就少一点，码代码时也更加统一。2.1.1 对于极小型指标的正向化处理例如费用，我们可以用将其转化为极大型，如果所有元素都为正数，也可以使用2.1.2 对于中间型指标的正向化处理如果其最佳数值是 x_{best} ，我们可以取 M=max\left\{ |x_{i}-x_{best}| \right\} ，之后按照转化。PH值正向化处理2.1.3 对于区间型指标的正向化处理对于区间型指标，如果其最佳区间是[a,b]，我们取M=max\left\{ a-min\left\{ x_{i} \right\}, max\left\{ x_{i} \right\}-b\right\}，之后按照转化，示例如下。区间型指标正向化处理至此，已将所有的数据都转化为极大型数据了。2.2 数据标准化处理为了消除不同的数据指标量纲的影响，我们还有必要对已经正向化的矩阵进行标准化。在概率统计中，标准化的方法一般是 \frac{X-EX}{\sqrt{DX}} ，不过这里我们不采用。记标准化后的矩阵为Z，其中 z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x_{ij}^{2}}}} ，也就是 \frac{每一个元素}{\sqrt{其所在列的元素的平方和}} 。对数据进行了相应的处理后，可以用向量z_{i}来表达第i个方案。假设有n个待评价的方案，m个指标，此时 z_{i}=[z_{i1},z_{i2},...,z_{im}] 。由这n个向量构成的矩阵也就是我们的标准化矩阵Z了。经过了正向化处理和标准化处理的评分矩阵Z，里面的数据全部是极大型数据。三、TOPSIS算法实现3.1 最优解与最劣解计算经过了正向化处理和标准化处理的评分矩阵Z，里面的数据全部是极大型数据。我们就可以从中取出理想最优解和最劣解。因此我们取出每个指标，即每一列中最大的数，构成理想最优解向量，即同理，取每一列中最小的数计算理想最劣解向量：z^{+}就是 z_{max} ， z^{-} 就是 z_{min} 。在得到理想最优解和理想最劣解的基础上就能计算每个方案的评分了。根据上面的距离评分公式：对其进行变型，也就是：变型的目的是为了使用欧几里得距离来衡量两个方案的距离，变形前后分母的计算结果其实是不同的(因为这里zi是一个向量)。这样更能体现出是综合距离。否则所有方案计算得分时分母都是相同的，相当于只衡量了分子，也就是距离最劣解的距离。3.2 TOPSIS评分计算于是计算距离评分：对于第i个方案zi，我们计算它与最优解的距离：与最劣解的距离：定义第i个方案的评分为Si：也就是前面提到的综合距离。0\leq S_{i} \leq 1，且 d_{i}^{+} 越小，也就是该方案与最优解的距离越小时，S_{i} 越大；相应的，d_{i}^{-}越小，也就是该方案与最劣解的距离越小时， S_{i} 越小。为同时兼顾了该方案与最优解与最劣解的距离的评分。这个时候我们就有了每个方案的分数了，按分数排排序，就知道哪个方案比较好哪个方案比较差。四、TOPSIS算法总结4.1 TOPSIS算法实现步骤1.将原始数据矩阵正向化。也就是将那些极小性指标，中间型指标，区间型指标对应的数据全部化成极大型指标，方便统一计算和处理。2.将正向化后的矩阵标准化。也就是通过标准化消除量纲的影响。3.计算每个方案各自与最优解和最劣解的距离：与最优解的距离：与最劣解的距离：4.根据最优解与最劣解计算得分并排序五、TOPSIS算法示例5.1 TOPSIS算法示例对一个需要根据学生智商和情商进行排名的数据：原始数据矩阵如下对其进行正向化：对其进行标准化：计算与最优解和最劣解的距离：最后计算得分给出排名：这个例子告诉我们，成绩很重要，但是情商更重要。小王虽然只考了60分，但也及格了，而且他从不与人争吵，所以我们可以给他一个最好的评价。5.2 TOPSIS算法扩展从上面计算各自与最优解和最劣解的距离时，我们看到，每一项指标的权重是一样的。在实际问题中，不同的指标重要程度可能是不一样的。例如评奖学金的时候，成绩往往是最重要的，之后还有参与活动分，志愿服务分等等，他们的权重又低一点。因此，在实际的应用中，我们也可以给指标进行赋权，将权重放到计算距离的公式中。考虑权重后，不同指标对最后的影响不一样，考虑权重的评价往往是实际生活中很常见的一种评价方式。关于权重的选取也有不同的方法，比如层次分析法(主观给出)、熵权法等等。六、程序源码TOPSIS.m程序clear all

clc

%% 导入数据

% （1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X

% （2）双击进入X，输入或拷贝数据到X

% （3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件

% （4）注意，代码和数据要放在同一个目录下哦，且Matlab的当前文件夹也要是这个目录。

load data_water_quality.mat

%% 数据预处理_正向化

[n,m] = size(X);

disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标'])

Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0： ']);

if Judge == 1

Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如[2,3,6]： '); %[2,3,4]

disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')

Type = input('例如[1,3,2]： '); %[2,1,3]

% 注意，Position和Type是两个同维度的行向量

for i = 1 : size(Position,2)%对每一列进行正向化处理

X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));

% 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))

% 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）

% 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列

% 返回值返回正向化之后的指标

end

disp('正向化后的矩阵 X = ')

disp(X)

end

%% 数据预处理_标准化

Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);

disp('标准化矩阵 Z = ')

disp(Z)

%% 指标权重赋值

disp("请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0")

Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');

if Judge == 1

disp(['有多少个指标就输入多少个权重数(权重和为1)，如[0.25,0.25,0.5]']);

weigh = input(['请输入输入' num2str(m) '个权重: ']);

if abs(sum(weigh) - 1)<0.000001 && size(weigh,1) == 1 && size(weigh,2) == m % 这里要注意浮点数的运算是不精准的。

else

weigh = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');

end

else

weigh = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m

end

%% 计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分

D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5; % D+ 与最大值的距离向量

D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5; % D- 与最小值的距离向量

S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未归一化的得分

disp('最后的得分为：')

stand_S = S / sum(S)% 归一化的得分

[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')%对得分进行排序并返回原来的位置

plot(sorted_S,'r-o')

xmin=1;xmax = size(sorted_S,1);

ymin = 0;ymax = max(sorted_S)+min(sorted_S);

axis([xmin xmax ymin ymax]); % 设置坐标轴在指定的区间

grid on

xlabel('方案');ylabel('分数');%坐标轴表示对bai象标签

title('TOPSIS算法最终评分排序')正向化处理函数Positivization.m程序function [posit_x] = Positivization(x,type,i)

% 输入变量有三个：

% x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量

% type：指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）

% i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列

% 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量

if type == 1 %极小型

disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )

posit_x = Min2Max(x); %调用Min2Max函数来正向化

disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')

elseif type == 2 %中间型

disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )

best = input('请输入最佳的那一个值(中间的那个值)： ');

posit_x = Mid2Max(x,best);

disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')

elseif type == 3 %区间型

disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )

a = input('请输入区间的下界： ');

b = input('请输入区间的上界： ');

posit_x = Inter2Max(x,a,b);

disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')

else

disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')

end

end以下面这个例子为例：首先导入数据，然后运行程序，结果如下：编辑于 2022-04-18 21:54排序算法人工智能算法决策理论赞同 31614 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录1111111

TOPSIS法（小白必看&文章包含详细源代码及注释）_topsis法样本容量的合理性-CSDN博客

TOPSIS法（小白必看&文章包含详细源代码及注释）

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Zkaisen

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时间 2020年5月4日组别数学建模姓名 Zkaisen 本周完成工作总结这一周我主要学习了TOPSIS法即优劣解距离向量法。 1.AHP的局限性前两周主要学习了层次分析法，层次分析法存在这样一些局限性：（1）层次分析法主观性很强，我们建模过程中判断矩阵都是自己手动填写的。（2）层次分析法方案层不能太多，太多的话，构建的判断矩阵很可能不能通过一致性检验。而且随机一致性指标RI表中n也只给到了15。（3）层次分析法是根据成对比较法和1~9尺度表构建判断矩阵得到数据的，对于一些有已知数据题目，层次分析法是不能很好利用原始数据的。 2.TOPSIS优点针对AHP的上述局限性，学习TOPSIS可以弥补层次分析法的一些缺点: （1）优劣解距离法可以充分利用原始数据信息，且其结果能充分反应各评价方案与最优方案的接近程度。（2）对样本容量没有严格限制，数据计算简单易行，无需数据检验。（topsis法适用于两个以上） 3.Topsis法简介 1981年，C.L.Hwang和K.Yoon首次提出了Topsis，全称Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution，可翻译为逼近理想解排序法，国内常称为优劣解距离法。它是一种常用的综合评价方法。 4.Topsis的基本过程（1）原始矩阵正向化，得到正向化矩阵 a.指标类型指标类型一般分为四种，极大型指标、极小型指标、中间型指标、区间型指标。极大型指标越大越好，极小型指标越小越好，中间型指标越接近中间值越好，区间型指标落在区间内最好。 b.正向化的公式正向化就是将原始数据指标都转化为极大型指标。极小型——极大型：当指标值中没有“0”时也可用公式：中间型——极大型：（其中mid为中间值）区间型——极大型：注：M为距离区间最远的距离，即当x在区间内时，正向化后的值为1；当x小于区间下限a时，；当x大于区间上限b时，; （2）对正向化矩阵标准化标准化公式：（3）计算得分并归一化 a.构造评分公式：评分公式变形： Topsis的思想：最优解即最大值，最劣解即最小值。 b.计算D+与D-: 定义最大值：Z+向量用于存放标准化矩阵中每一列的最大值定义最小值：Z-向量用于存放标准化矩阵中每一列的最小值定义第i个（i=1,2,...,n）个评价对象与最大值的距离：等于第i行每一个元素与其所在列的最大值的差的平方和的0.5次方定义第i个（i=1,2,...,n）个评价对象与最大值的距离：等于第i行每一个元素与其所在列的最小值的差的平方和的0.5次方 c．计算未归一化的得分记为G d.对得分进行归一化 5.问题思考（1）为什么要进行正向化？（2）为什么要进行标准化，标准化是为了消除量纲的影响，那么可不可以用下面的公式来实现？（2）构造评分公式的含义，背后的思想 6.代码思路及实现 (1)通过软件Matlab实现 a．先根据每一步的公式理清思路 b．根据分析，使用for循环实现较为可行（学习编程软件中for循环相关操作） c．根据步骤分块实现不同的功能 d．代码编写过程中尽量使每一步结果都输出，这样当结果与预期不符时方便纠错。并且可输入简单的数值对代码进行检验，查找错误所在之处，进而修改完善。 e .找相关数据进行结果检验，验证结果的准确性。（2）通过软件SPSS实现 a.论文中有可通过SPSS实现标准化，导入数据，进行相应操作后，标准化结果却与MATLAB中的结果不同。学习SPSS标准化，有两种不同的标准化方式，即z-score标准化和离差标准化。 b.默认的是z-score标准化。其公式不同于我们步骤中的公式。它是基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x’。步骤如下：首先求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ；进行标准化处理：zij=（xij－xi）/si，其中zij为标准化后的值；xij为实际值。最后将逆指标前的正负号对调。 z-score标准化后的变量值围绕0上下波动，大于0说明高于平均水平，小于0说明低于平均水平。 c.我们MATLAB中使用的公式是SPSS中标准化的规范化方法，也叫离差标准化，是对原始数据的线性变换，使结果映射到[0,1]区间。可以通过SPSS的语法编辑窗口来编写代码实现TOPSIS（需要学习并掌握SPSS的基础语法才能实现代码的功能实现）（3）MATLAB代码简单思路遇到的问题所遇到的问题: 1.没有理解在论文6.2.2中先用算术平均数计算对应的平均值？后来懂了，他是通过VISSIM软件汇总数据，取平均值的. 2.表4中处理后的数据是同趋化后的数据吧，可是我通过代码求出的数据却和论文中的不同，本以为是标准化方法不同的原因，可是我用SPSS进行标准化后的数据进行得分计算，结果仍然不一样。 3.虽然通过论文学习了Matlab相关知识，但实现不了学习的论文中的内容. 论文中的数据都是自己通过统计得到的。总结： 1.不懂的地方多思考，多百度 2.遇到问题，多尝试，用不同的方法来测试验证结果 3.学习优秀论文要注重学其方法，不必拘泥于一些具体实现上（因为具体的功能实现可能需要具体的环境）备注 Matlab代码 % TOPSIS法 % % 导入数据 % clear;clc;close all;%清屏，clc清空命令窗口，clear清空工作区，clos all清除图形 % 点击工作区右键，新建并为矩阵命名为X % 把数据复制到工作区 % 在excel中复制数据，在回到Excel中右键，点击粘贴excel中的数据（ctrl+shift+V） % 关掉这个窗口，右键另存，保存为mat文件 % （下次就不用复制粘贴了，只需要使用load命令即可加载数据） % load data_kaifangqian.mat [r,c]=size(X) Max_total=max(X)%每一列数据的最大值，它是一个行向量 Min_total=min(X)%每一列数据的最小值，它是一个列向量 B=zeros(1,c);%定义一个0矩阵用来存放指标类型 disp('请输入指标类型，0表示极大型，1表示极小型，2表示中间型，3表示区间型') for j=1:c %通过for循环依次从键盘输入指标类型对应的数字 B(j)=input('please enter a type:'); end disp(B) %% %%指标正向化 C=zeros(1,c) A=zeros(r,c)%这里我用A矩阵存放正向化后的数据 for j=1:c if B(j)==0%无需正向化 for i=1:r A(i,j)=X(i,j);%直接将原数值赋值给矩阵A end elseif B(j)==1%该列数据为极小型，需要正向化 for i=1:r A(i,j)=Max_total(j)-X(i,j); end elseif B(j)==2%中间型指标，需要正向化 mid=input('中间值mid：')%中间值也就是公式中的x（best） for i=1:r C(i)=abs(X(i,j)-mid);%abs函数是绝对值函数 end Max_mid=max(C);%用Max_mid来存放离中间值最远的值，也就是公式中的M for i=1:r A(i,j)=1-C(i)./Max_mid;%代入公式计算正向化后的指标数值，并赋值给矩阵A end elseif B(j)==3%指标类型是区间型指标的情况 a=input('请输入区间下限:')%区间下限，公式中的a b=input('请输入区间上限：')%区间上限，公式中的b e=(a-Min_total(j));%求出离区间下限最远的距离并赋值给e d=(Max_total(j)-b);%求出离区间上限最远的距离并赋值给d M=max(e,d);%比较e和d的值，并把最大值赋值给M for i=1:r if (X(i,j)>=a)&&(X(i,j)<=b) %如果指标刚好在区间内，那么正向化后的值为1 A(i,j)=1; elseif X(i,j)b%如果xi大于b，用公式计算正向化后的数值并赋值给矩阵A A(i,j)=1-(X(i,j)-b)./M ; end end end end %% %标准化 %方法一结合上节课层次分析法,通过repmat函数，sum函数和乘方运算来实现 Z=A./repmat(sum(A.*A).^0.5,r,1); disp(Z); %方法二通过for循环来实现 for i=1:r for j=1:c D=sum(A.*A).^0.5 ;% A.*A就是矩阵A的每一个元素平方，sum求和得到的是一个行向量，存放矩阵中每一列元素的和 Z=A./repmat(D,r,1); %repmat函数表示将A复制m*n块，及把A作为的元素，Z由m*n个A平铺而成。 end end disp(Z) %% % % 求得分并进行归一化 S=zeros(r,1);%存放最终的归一化后的得分 G=zeros(r,1);%存放未归一化的得分 DP=zeros(r,1);%存放D+ DN=zeros(r,1);%存放D- E=zeros(r,c); F=zeros(r,c); Max_Z=max(Z);%存放标准化后每一列的最大值 Min_Z=min(Z);%存放标准化后每一列的最小值 for i=1:r for j=1:c E(i,j)=(Max_Z(j)-Z(i,j)).*(Max_Z(j)-Z(i,j));%就是求解D+公式中分母中根号下面的内容 F(i,j)=(Min_Z(j)-Z(i,j)).*(Min_Z(j)-Z(i,j));%就是求解D-公式中分母中根号下面的内容 end DP(i)=sum(E(i,:)).^0.5;%第i个（i=1,2,...,n）个评价对象与最大值的距离。这里用到了E(i,:)，就是取第i行的所有数据 DN(i)=sum(F(i,:)).^0.5;%第i个（i=1,2,...,n）个评价对象与最小值的距离 G(i)=DN(i)/(DP(i)+DN(i)); end disp(DN) disp(DP) disp(G) %%对得分进行归一化 for i=1:r S(i)=G(i)/sum(sum(G)); end disp(S) %%

TOPSIS法（小白必看&文章包含详细源代码及注释）

时间 2020年5月4日组别数学建模姓名 Zkaisen ...

文章目录数学建模四大模型总结1 、优化模型1.1 数学规划模型1.2 微分方程组模型1.3 图论与网络优化问题1.4 概率模型1.5 组合优化经典问题现代优化算法：禁忌搜索；模拟退火；遗传算法；人工神经网络2、分类模型2.1 判别分析2.2 聚类分析2.3 神经网络分类方法3、评价模型3.1 层次分析法(AHP)3.2 灰色综合评价法（灰色关联度分析）3.3 模糊综合评价法3...

TOPSIS(优劣解距离法)

数学建模笔记——评价类模型之TOPSIS - 知乎

TOPSIS法 - MBA智库百科

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TOPSIS法（Technique for Order Preferenceby Similarity to Ideal Solution,）逼近理想解排序法、理想点法

　　TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）法是C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出，TOPSIS法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。理想化目标（Ideal Solution）有两个，一个是肯定的理想目标（positive ideal solution）或称最优目标，一个是否定的理想目标（negative ideal solution）或称最劣目标，评价最好的对象应该是与最优目标的距离最近，而与最劣目标最远，距离的计算可采用明考斯基距离，常用的欧几里德几何距离是明考斯基距离的特殊情况。

　　TOPSIS法是一种理想目标相似性的顺序选优技术,在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。它通过归一化后的数据规范化矩阵,找出多个目标中最优目标和最劣目标(分别用理想解和反理想解表示) ,分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离,获得各目标与理想解的贴近度,按理想解贴近度的大小排序,以此作为评价目标优劣的依据。贴近度取值在0～1 之间,该值愈接近1,表示相应的评价目标越接近最优水平;反之,该值愈接近0,表示评价目标越接近最劣水平。该方法已经在土地利用规划、物料选择评估、项目投资、医疗卫生等众多领域得到成功的应用,明显提高了多目标决策分析的科学性、准确性和可操作性。

[编辑]TOPSIS法的基本原理

　　其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标的最差值。

　　TOPSIS法中“理想解”和“负理想解”是TOPSIS法的两个基本概念。所谓理想解是一设想的最优的解（方案），它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值；而负理想解是一设想的最劣的解（方案），它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。方案排序的规则是把各备选方案与理想解和负理想解做比较，若其中有一个方案最接近理想解，而同时又远离负理想解，则该方案是备选方案中最好的方案。

[编辑]TOPSIS法的数学模型[1]

　　遇到多目标最优化问题时,通常有m 个评价目标每个目标有n 评价指标。首先邀请相关专家对评价指标(包括定性指标和定量指标) 进行打分,然后将打分结果表示成数学矩阵形式,建立下列特征矩阵:

　　。

　　计算规范化矩阵

　　对特征矩阵进行规范化处理,得到规格化向量rij ,建立关于规格化向量rij的规范化矩阵

　　。

　　构造权重规范化矩阵

　　通过计算权重规格化值vij,建立关于权重规范

化值vij 的权重规范化矩阵

　　。

　　其中,wj是第j 个指标的权重。在基于ASP的动态联盟制造资源评估模型中,采用的权重确定方法有Delphi法、对数最小二乘法、层次分析法、熵等。

　　确定理想解和反理想解

　　根据权重规格化值vij来确定理想解A * 和反理想解A − :

　　。

　　其中,J1是收益性指标集, 表示在第i个指标上的最优值; J2是损耗性指标集, 表示在第i个指标上的最劣值。收益性指标越大,对评估结果越有利;损耗性指标越小,对评估结果越有利。反之,则对评估结果不利。

　　计算距离尺度

　　计算距离尺度,即计算每个目标到理想解和反理想解的距离,距离尺度可以通过n维欧几里得距离来计算。目标到理想解A * 的距离为S * ,到反理想解A − 的距离为S − :

　　。

　　其中,与分别为第j个目标到最优目标及最劣目标的距离, vij是第i个目标第j个评价指标的权重规格化值。S * 为各评价目标与最优目标的接近程度, S * 值越小,评价目标距离理想目标越近,方案越优。

　　计算理想解的贴近度C *

　　。

　　式中,。当时, Ai = A − ,表示该目标为最劣目标;当时, Ai = A * , 表示该目标为最优目标。在实际的多目标决策中, 最优目标和最劣目标存在的可能性很小。

　　根据理想解的贴近度C * 大小进行排序

　　根据C * 的值按从小到大的顺序对各评价目标进行排列。排序结果贴近度C * 值越大,该目标越优,C * 值最大的为最优评标目标。

[编辑]参考文献

↑ 李浩、罗国富、谢庆生.基于应用服务提供商的动态联盟制造资源评估模型研究

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222.168.41.* 在 2010年5月21日 20:07 发表

错了！

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147.8.88.* 在 2012年3月6日 11:00 发表

不对，r是怎么计算也没写

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HEHE林 (Talk | 贡献) 在 2012年3月6日 14:08 发表

147.8.88.* 在 2012年3月6日 11:00 发表

不对，r是怎么计算也没写

已添加r的计算公式，希望对您会有帮助！~

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发表评论请文明上网，理性发言并遵守有关规定。

218.22.13.* 在 2012年11月12日 21:37 发表

贴近度公式有误吧，S*和S-的位置反了。

S*值越小,评价目标距离理想目标越近,方案越优的，如果按目前这个公式，S*=0时C*=0，成了最差方案了。

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HEHE林 (Talk | 贡献) 在 2012年11月13日 11:01 发表

218.22.13.* 在 2012年11月12日 21:37 发表

贴近度公式有误吧，S*和S-的位置反了。

S*值越小,评价目标距离理想目标越近,方案越优的，如果按目前这个公式，S*=0时C*=0，成了最差方案了。

原文附有参考文献，您可以做下对比，希望对您有帮助！

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import numpy as np

#逆向指标标准化

def normalization1(data):

_range = np.max(data) - np.min(data)

return (data - np.min(data)) / _range

#正向指标标准化

def normalization2(data):

_range = np.max(data) - np.min(data)

return (np.max(data) - data) / _range

#熵权法计算权重

def entropyWeight(data):

P = np.array(data)

# 计算熵值

E = np.nansum(-P * np.log(P) / np.log(len(data)), axis=0)

# 计算权系数

return (1 - E) / (1 - E).sum()

def topsis(data, weight=None):

# 权重

weight = entropyWeight(data) if weight is None else np.array(weight)

# 最优最劣方案

Z = pd.DataFrame([(data*weight.T).min(), (data*weight.T).max()], index=['负理想解', '正理想解'])

#Z = pd.DataFrame([data.min(), data.max()], index=['负理想解', '正理想解'])

# 距离

Result = data.copy()

#Result['正理想解'] = np.sqrt(((data - Z.loc['正理想解']) ** 2 * weight).sum(axis=1))

#Result['负理想解'] = np.sqrt(((data - Z.loc['负理想解']) ** 2 * weight).sum(axis=1))

Result['正理想解'] = np.sqrt(((weight*data - Z.loc['正理想解']) ** 2 ).sum(axis=1))

Result['负理想解'] = np.sqrt(((weight*data - Z.loc['负理想解']) ** 2 ).sum(axis=1))

# 综合得分指数

Result['综合得分指数'] = Result['负理想解'] / (Result['负理想解'] + Result['正理想解'])

Result['排序'] = Result.rank(ascending=False)['综合得分指数']

return Result, Z, weight

if __name__=='__main__':

data = pd.read_csv('testdata.csv',sep = ',',encoding='gbk',header=None)

data1 = data.copy()

data1[0] = normalization1(data1[0])

data1[1] = normalization1(data1[1])

data1[2] = normalization1(data1[2])

data1[3] = normalization1(data1[3])

[result,z1,weight] = topsis(data1)最终得到的评分结果（部分）、正负理想解和权重如下：往期推荐：XGBoost（二）：R语言实现疫情下，你还好吗R语言爬虫与文本分析图片相似度识别：pHash算法编辑于 2021-03-28 20:40大数据分析算法数学模型赞同 846 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录机器学习养

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TOPSIS法_百度百科

https://baike.baidu.hk/item/TOPSIS法/3094166

TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）法是C.L.Hwang和K.Yoon於1981年首次提出，TOPSIS法根據有限個評價對象與理想化目標的接近程度進行排序的方法，是在現有的對象中進行相對優劣的評價。

中文名

TOPSIS法

外文名

Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution

TOPSIS法是一種逼近於理想解的排序法，該方法只要求各效用函數具有單調遞增（或遞減）性即可。TOPSIS法是多目標決策分析中一種常用的有效方法，又稱為優劣解距離法。

TOPSIS法原理

其基本原理，是通過檢測評價對象與最優解、最劣解的距離來進行排序，若評價對象最靠近最優解同時又最遠離最劣解，則為最好；否則不為最優。其中最優解的各指標值都達到各評價指標的最優值。最劣解的各指標值都達到各評價指標的最差值。

TOPSIS法涵義

TOPSIS法其中“理想解”和“負理想解”是TOPSIS法的兩個基本概念。所謂理想解是一設想的最優的解（方案），它的各個屬性值都達到各備選方案中的最好的值；而負理想解是一設想的最劣的解（方案），它的各個屬性值都達到各備選方案中的最壞的值。方案排序的規則是把各備選方案與理想解和負理想解做比較，若其中有一個方案最接近理想解，而同時又遠離負理想解，則該方案是備選方案中最好的方案。

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文章目录

TOPSIS法介绍

层次分析法的一些局限性[引出本文]

例子：单个指标的一种计算评分方式

多个指标的完整处理步骤

将原始矩阵正向化

正向化矩阵标准化

计算得分并归一化（参考例子）

扩展-带权重的TOPSIS

基于熵权法对Topsis模型的修正（承上）

总结

TOPSIS法介绍

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法 TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

层次分析法的一些局限性[引出本文]

-评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。

如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢？

例子：单个指标的一种计算评分方式

小明同宿舍共有四名同学，他们第一学期的高数成绩如下表所示：

请你为这四名同学进行评分，该评分能合理的描述其高数成绩的高低。方式一：缺陷明显：可以随便修改成绩，只要保证排名不变，那么评分就不会改变！

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